Question

10．已知实数x，y满足（x-1）²+（y+2）²=9．
（1）求|3x+4y+7|的取值范围；
（2）求x²+y²+4x-4y+3的取值范围．

Answer 1

分析 由已知x，y满足的是以（1，-2）为圆心，3为半径的圆，（1）设z=3x+4y+7，所求为直线在y轴上的截距有关；
（2）对所求平方得到（x+2）²+（y-2）²-5，所以只要求出圆上的点到（-2，2）的距离的平方的最值即可．

解答 解：由已知x，y满足的是以（1，-2）为圆心，3为半径的圆，
（1）设z=3x+4y+7，即3x+4y+7-z=0，当此直线与圆相切时$\frac{|3-8+7-z|}{5}$=3，解得z=-13或17，所以z∈[-13，17]，所以|z|∈[0，17]；即|3x+4y+7|的取值范围是[0，17]；
（2）x²+y²+4x-4y+3=（x+2）²+（y-2）²-5，表示圆上的点到（-2，2）的距离的平方的减去5，而（x+2）²+（y-2）²的最小值为（$\sqrt{（-2-1）^2+（2+2）^2}-3$）²=4，最大值为（$\sqrt{（-2-1）^2+（2+2）^2}+$3）²=64，所以（x+2）²+（y-2）²-5的范围是[-1，59]．

点评 本题考查了简单的线性规划问题的应用，来求最值；关键是明确所求的几何意义．