Question

已知△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的外接圆的半径为

2

，且asinA-csinC=（a-b）sinB．
（1）求∠C；
（2）求△ABC的面积S的最大值．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：三角函数的求值,解三角形

分析：（1）已知等式利用正弦定理化简得到关系式，再利用余弦定理表示出cosC，将得出的关系式代入求出cosC的值，即可确定出C的度数；
（2）由C的度数求出sinC的值，利用正弦定理表示出a与b，再利用三角形面积公式表示出S，将a，b，sinC代入，用A表示出B，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域即可确定出S的最大值．

解答： 解：（1）已知等式asinA-csinC=（a-b）sinB，利用正弦定理化简得：a²-c²=ab-b²，
∴a²+b²-c²=ab，
∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

，
∵C为三角形内角，
∴C=

π

3

；
（2）∵sinC=sin

π

3

=

3

2

，

a

sinA

=

b

sinB

=2R，即a=2RsinA，b=2RsinB，
∴S=

1

2

absinC=

3

4

•2RsinA•2RsinB=2

3

sinAsinB，
∵A+B=π-C=

2π

3

，即B=

2π

3

-A，
代入上式得：S=

1

2

absinC=2

3

sinAsinB=2

3

sinAsin（

2π

3

-A）
=2

3

sinA（

3

2

cosA+

1

2

sinA）=

3

（

3

2

sin2A-

1

2

cos2A+

1

2

）=

3

sin（2A-

π

6

）+

3

2

≥

3

+

3

2

=

3 3

2

，
则当2A-

π

6

=

π

2

，即A=

π

3

时，S_max=

3 3

2

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．