Question

【题目】已知A（0，2），B（0，﹣2），动点P（x，y）满足PA，PB的斜率之积为．

（1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）已知直线l：y＝kx+m，C的右焦点为F，直线l与C交于M，N两点，若F是△AMN的垂心，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】（1）1（x≠0）；（2）y＝x．

【解析】

（1）根据动点P（x，y）满足PA，PB的斜率之积为，可得P的坐标之间的关系，且横坐标不为0，求出P的轨迹方程；

（2）由（1）可得右焦点F的坐标，联立直线与椭圆的方程可得两根之和及两根之积，由F是△AMN的垂心可得AF⊥MN，NF⊥AM，可得m的值．

（1）因为动点P（x，y）满足PA，PB的斜率之积为，

所以（x≠0），

整理可得1，

所以动点P的轨迹C的方程：1（x≠0）；

（2）由（1）可得右焦点F（2，0），可得kAF1，

因为F为垂心，

所以直线MN的斜率为1，

设M（x1，y1），N（x2，y2），

联立直线l与椭圆的方程：，整理得：3x2+4mx+2m2﹣8＝0，

△＝16m2﹣4×3×（2m2﹣8）＞0，即m2＜12，

x1+x2，x1x2，

因为AM⊥NF，

所以kAMkNF＝﹣1，即1，

整理可得y2（y1﹣2）+x1（x2﹣2）＝0，

即y1y2+x1x2﹣2x1﹣2y2＝0，

即y1y2+x1x2﹣2x1﹣2（x2+m）＝0，

整理可得y1y2+x1x2﹣2（x1+x2）﹣2m＝0，

而y1y2＝（x1+m）（x2+m）＝x1x2+m（x1+x2）+m2

所以22m0，

解得m或m＝2（舍），

所以直线l的方程为：y＝x．