Question

设

a

，

b

是夹角为60°的单位向量，若

c

是单位向量，则(

a

-

c

)•(

b

+

c

)；的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：利用向量的数量积公式和向量减法的三角形法则得到

a

•

b

，|

a

-

b

|；利用向量的数量积的运算律将(

a

-

c

)•(

b

+

c

)展开
利用三角函数的有界性求出取值范围．

解答：解：根据已知

a

•

b

=

1

2

且|

a

-

b

| =1，
由于（

a

-

c

）（

b

+

c

）=

a

•

b

+

a

•

c

-

c

•

b

-

c

2=（

a

-

b

）•

c

-

1

2

，
设

a

-

b

与

c

的夹角为θ，
则（

a

-

b

）•

c

=|

a

-

b

||

c

|cosθ=cosθ∈[-1，1]，
故-

3

2

≤（

a

-

b

）•

c

-

1

2

≤

1

2

．
故答案为[-

3

2

，

1

2

]

点评：本题考查向量的数量积公式、向量的运算法则、三角函数的有界性，是基础题．