Question

设

a

，

b

是夹角为60°的单位向量，若

c

是单位向量，则(

a

-

c

)•(

b

+

c

)的取值范围（　　）

• A．[-1，1]
• B．[-

  1

  2

  ，

  1

  2

  ]
• C．[-

  3

  2

  ，

  1

  2

  ]
• D．[-

  3

  2

  ，

  3

  2

  ]

Answer 1

分析：通过建立直角坐标系写出向量的坐标，进而转化为求三角函数的取值范围即可．

解答：解：建立如图所示的坐标系，
则

a

=(1，0)，

b

=(

1

2

，

3

2

)，
设向量

c

与x轴的夹角为θ，则

c

=(cosθ，sinθ)．θ∈[0，2π）．
则

a

-

c

=（1-cosθ，-sinθ），

b

+

c

=(

1

2

+cosθ，

3

2

+sinθ)．
∴(

a

-

c

)•(

b

+

c

)=(1-cosθ)(

1

2

+cosθ)+(

3

2

+sinθ)(-sinθ)
=-

1

2

+

1

2

cosθ-

3

2

sinθ
=sin(

π

6

-θ)-

1

2

∵-1≤sin(

π

6

-θ)≤1，∴-

3

2

≤sin(

π

6

-θ)≤

1

2

．
∴(

a

-

c

)•(

b

+

c

)的取值范围是[-

3

2

，

1

2

]．
故选C．

点评：熟练掌握向量的坐标运算、数量积和三角函数的取值范围是解题的关键．