Question

已知f（x）是定义域为R的偶函数，若f（x）的最小正周期是2，且当 x∈[1，2]时，f（x）=x²-2x-1，那么f（x）在[0，1]上的表达式是

f（x）=x²-2x-1

．

Answer 1

分析：根据x∈[1，2]时的表达式，得x∈[-2，-1]时f（-x）=x²+2x-1，结合函数为偶函数得到当x∈[-2，-1]时函数的表达式为f（x）=x²+2x-1．再设x∈[0，1]，由x-2∈[-2，-1]算出f（x-2）=x²-2x-1，最后利用函数的周期为2即可算出f（x）在[0，1]上的表达式．

解答：解：∵当x∈[1，2]时，f（x）=x²-2x-1，
∴当x∈[-2，-1]时，由-x∈[1，2]得f（-x）=（-x）²-2（-x）-1=x²+2x-1，
∵f（x）是定义域为R的偶函数，满足f（x）=f（-x），
∴当x∈[-2，-1]时，f（x）=f（-x）=x²+2x-1，
设x∈[0，1]，由x-2∈[-2，-1]得f（x-2）=（x-2）²+2（x-2）-1=x²-2x-1，
∵f（x）的最小正周期是2，
∴f（x-2）=f（x），可得当x∈[0，1]时函数的表达式为f（x）=x²-2x-1．
故答案为：f（x）=x²-2x-1

点评：本题给出函数的奇偶性与周期性，在已知区间[1，2]上的表达式情况下求区间[0，1]上的表达式．着重考查了函数的简单性质及其应用和函数解析式求解的常用方法等知识，属于基础题．