Question

已知函数f(x)=[2sin(x+

π

3

)+sinx]cosx-

3

sin2x，x∈R
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在[0，

π

4

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（I）利用两角和的正弦函数，化简函数的表达式，利用二倍角公式、两角和的正弦函数化为一个角的一个三角函数的形式，直接利用周期公式求函数f（x）I的最小正周期；
（II）根据[0，

π

4

]求出

π

3

≤2x+

π

3

≤

5π

6

，然后求出函数的最大值和最小值．

解答：解：因为f(x)=[2sin(x+

π

3

)+sinx]cosx-

3

sin2x
=[2（sinxcos

π

3

+sin

π

3

cosx）+sinx]cosx-

3

sin2x
=sin2x+

3

cos2x
=2sin(2x+

π

3

)于是
（I）函数f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．
（II）因为x∈[0，

π

4

]∴

π

3

≤2x+

π

3

≤

5π

6

∴

1

2

≤sin(2x+

π

3

)≤ 1即：1≤y≤2
∴f（x）_max=2，f（x）_min=1

点评：本题是基础题，考查三角函数的化简求值，周期的应用，最值的求法，考查计算能力．