Question

【题目】已知函数．

(1)求函数的单调区间；

(2)若函数的图象在点处的切线的倾斜角为45°，对于任意的，函数在区间上总不是单调函数，求的取值范围．

Answer 1

【答案】(1)见解析(2)

【解析】【试题分析】(1)求出函数的定义域,对函数求导后,对分类讨论函数的单调区间.(2)倾斜角为,斜率为,根据斜率为可求得的值.化简的表达式,求出的导数,将函数在区间上不是单调函数的问题,转化为函数导数在区间上有变号零点问题来求解.

【试题解析】

(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝.

当a＞0时，f(x)的增区间为(0,1)，减区间为(1，＋∞)；

当a＜0时，f(x)的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1)；

当a＝0时，f(x)不是单调函数．

(2)由(1)及题意得f′(2)＝－＝1，即a＝－2，

∴f(x)＝－2ln x＋2x－3，f′(x)＝.

∴g(x)＝x3＋x2－2x，

∴g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2.

∵g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数，

即g′(x)＝0在区间(t,3)上有变号零点．由于g′(0)＝－2，

∴

当g′(t)＜0，即3t2＋(m＋4)t－2＜0对任意t∈[1,2]恒成立，

由于g′(0)＜0，故只要g′(1)＜0且g′(2)＜0，

即m＜－5且m＜－9，即m＜－9；

由g′(3)＞0，即m＞－.

所以－＜m＜－9.

即实数m的取值范围是.