Question

【题目】已知函数f（x）=ax+ +2﹣2a（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线与直线y=2x+1平行．
（1）求a，b满足的关系式；
（2）若f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；
（3）证明：1+ + +…+ ＞ （2n+1）+ （n∈N*）．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数的导数为f′（x）=a﹣ ，

因为f（x）=ax+ +2﹣2a（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线与直线y=2x+1平行．

所以f'（1）=2，即f'（1）=a﹣b=2，所以b=a﹣2

（2）解：因为b=a﹣2，所以f（x）=ax+ +2﹣2a，

若f（x）≥2lnx，则f（x）﹣2lnx≥0，

设g（x）=f（x）﹣2lnx=ax+ +2﹣2a﹣2lnx，x∈[1，+∞）．

则g（1）=0，g′（x）= ，

①当0＜a＜1时， ＞1，若1＜x＜ ，则g'（x）＜0，

此时g（x）在[1，+∞）上单调递减，所以g（x）＜g（1）=0，

即f（x）≥2lnx在[1，+∞）不恒成立．

②若a≥1， ≤1，当x＞1时，g'（x）＞0，g（x）在[1，+∞）上单调递增，

又g（1）=0，所以此时f（x）≥2lnx．

综上所述，所求a的取值范围是[1，+∞）

（3）证明：由（2）知当a≥1时，f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒成立．

取a=1得x﹣ ≥2lnx

令x= ＞1，得 ﹣ ＞2ln ，

即 ﹣ ＞ln ，

所以 ＞ ln + （ ﹣ ）

上式中n=1，2，3，…，n，然后n个不等式相加得1+ + +…+ ＞ （2n+1）+

【解析】（1）利用函数在点（1，f（1））处的切线与直线y=2x+1平行，得到f'（1）=2，然后利用导数确定a，b满足的关系式．（2）构造函数g（x）=f（x）﹣2lnx=ax+ +2﹣2a﹣2lnx，x∈[1，+∞）．利用导数求函数的最值即可．（3）取a=1得x﹣ ≥2lnx，令x= ＞1，得 ＞ ln + （ ﹣ ），上式中n=1，2，3，…，n，然后n个不等式相加得结论．