Question

【题目】已知椭圆的短轴长为2，离心率为

（1）求椭圆C的方程；

（2）设过点M（2，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，F1为椭圆的左焦点．

①若B点关于x轴的对称点是N，证明：直线AN恒过一定点；

②试求椭圆C上是否存在点P，使F1APB为平行四边形？若存在，求出F1APB的面积，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）定点；（2）

【解析】试题分析：(1)由短轴长和离心率可以求得，从而得到椭圆的方程．（2）设出，则直线的方程为： ，利用在直线上，直线的方程又可以转化为，联立方程组并消去，利用韦达定理把直线的方程化简为，从而得到直线过定点．（3）中设出，因、互相平分，故可用表示，最后利用在椭圆上求出的大小，从而求出平行四边形的面积．

解析：（1）∵椭圆的短轴长为2，∴，解得，∵离心率为 ，∴ ，解得，∴椭圆的方程为．

（2）证明：①设过的直线，联立，得，∵直线与椭圆交于两点，∴，即 ．

设，则 ，∵ 点关于 轴的对称点是 ，∴ ．设直线，∵满足直线，∴

，∴直线 过定点．

（2）椭圆左焦点 ，设的中点，则 ， ，假设存在点使为平行四边形，则是 的中点，∴， ，即 ，∵在椭圆上，∴ ．整理得 ，解得 或（舍），此时，

左焦点直线的距离，∴平行四边形的面积．