Question

【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn ， 且Sn+an=4，n∈N*
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）已知cn=2n+3（n∈N*），记dn=cn+logCan（C＞0，C≠1），是否存在这样的常数C，使得数列{dn}是常数列，若存在，求出C的值；若不存在，请说明理由．
（3）若数列{bn}，对于任意的正整数n，均有 成立，求证：数列{bn}是等差数列．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵Sn+an=4，n∈N*．∴当n≥2时，Sn﹣1+an﹣1=4，

∴an+an﹣an﹣1=0，即an= an﹣1．

当n=1时，2a1=4，解得a1=2．

∴数列{an}是等比数列，an=2（ ）n﹣1=22﹣n

（2）解：dn=cn+logCan=2n+3+logC22﹣n=2n+3+（2﹣n）logC2=（2﹣logC2）n+3+2logC2，

假设存在这样的常数C，使得数列{dn}是常数列，

则2﹣logC2=0，解得C= ．

∴存在这样的常数C= ，使得数列{dn}是常数列，dn=3+2 =7

（3）解：证明：∵对于任意的正整数n，均有b1an+b2an﹣1+b3an﹣2+…+bna1=（ ）n﹣ 成立（*），

∴b1an+1+b2an+…+bna2+bn+1a1=（ ）n+1﹣ ．①

（*）两边同乘以 可得：b1an+1+b2an+…+bna2=（ ）n+1﹣ ．②．

①﹣②可得bn+1a1= ﹣ = ，

∴bn+1= ，

∴bn= ，（n≥3）．

又2b1= ﹣ ，解得b1=﹣ ．

b1a2+b2a1= ﹣ ，

∴﹣ ×1+b2×2=﹣ ，解得b2=﹣ ．

当n=1，2时，bn= ，也适合．

∴bn= ，（n∈N*）是等差数列

【解析】（1）利用“当n=1时，a1=S1；当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1”即可得出；（2）dn=cn+logCan=2n+3+logC22﹣n=（2﹣logC2）n+3+2logC2，假设存在这样的常数C，使得数列{dn}是常数列，则2﹣logC2=0，解得C即可；（3）由于对于任意的正整数n，均有b1an+b2an﹣1+b3an﹣2+…+bna1=（ ）n﹣ 成立（*），b1an+1+b2an+…+bna2+bn+1a1=（ ）n+1﹣ ．（*）两边同乘以 可得：b1an+1+b2an+…+bna2=（ ）n+1﹣ ．两式相减可得可得bn+1= ，即bn= ，（n≥3）．n=1，2也成立，即可证明．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用数列的前n项和的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系．