Question

（2008•闵行区二模）已知椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，长轴两端点为A、B，短轴上端点为C．
（1）若椭圆焦点坐标为F1(2

2

，0)、F2(-2

2

，0)，点M在椭圆上运动，当△ABM的最大面积为3时，求其椭圆方程；
（2）对于（1）中的椭圆方程，作以C为直角顶点的内接于椭圆的等腰直角三角形CDE，设直线CE的斜率为k（k＜0），试求k满足的关系等式；
（3）过C任作

CP

垂直于

CQ

，点P、Q在椭圆上，试问在y轴上是否存在一点T使得直线TP的斜率与TQ的斜率之积为定值，如果存在，找出点T的坐标和定值，如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由焦点坐标可求c，利用△ABM的最大面积为3，可得a，b的关系，再借助于几何量间的关系，可求椭圆方程；
（2）根据C是直角顶点，假设CE所在的直线方程与椭圆方程联立求得CE，CD的长，利用|CE|=|CD|，可求关系式；
（3）先假设T（0，-b），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），利用

CP

垂直于

CQ

，点P、Q在椭圆上，可表示出直线TP的斜率与TQ的斜率之积，从而得解．

解答：解：（1）由已知：c=2

2

，

1

2

(2a)b=3，联立方程组求得：a=3，b=1，所求方程为：

x2

9

+y2=1（4分）
（2）依题意设CE所在的直线方程为y=kx+1（k＜0），代入椭圆方程并整理得：（1+9k²）x²+18kx=0，则|CE|=

1+k2

•

18|k|

1+9k2

，同理|CD|=

1+k2

•

18

9+k2

（8分）
由|CE|=|CD|得k³+9k²+9k+1=0，即（k+1）（k²+8k+1）=0（11分）
（3）由题意得：T（0，-b），又知C(0，b)，

CP

⊥

CQ

，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）

CP

•

CQ

=(x1，y1-b)•(x2，y2-b)=x1x2+(y1-b)(y2-b)=0x₁x₂=-（y₁-b）（y₂-b）（13分）
又由

x2

a2

+

y2

b2

=1得

x

2 1

=a2(1-

y 2 1

b2

)，同理

x

2 2

=a2(1-

y 2 2

b2

)，
所以

x

2 1

x

2 2

=a4(1-

y 2 1

b2

)(1-

y 2 2

b2

)=

a4

b4

(b-y1)(b+y1)(b-y2)(b+y2)．
从而得

a4

b4

(y1+b)(y2+b)=(y1-b)(y2-b)所以

(y1+b)(y2+b)

(y1-b)(y2-b)

=

b4

a4

（15分）
而kTPkTQ=

y1-t

x1

•

y2-t

x2

=-

(y1-t)(y2-t)

(y1-b)(y2-b)

=-

b4

a4

（为定值）．对比上式可知：
选取T（0，-b），则得直线TP的斜率与TQ的斜率之积为-

b4

a4

（18分）

点评：本题主要考查了椭圆的标准方程，考查研究椭圆和解三角形问题的综合，考查是否存在性问题的探究．对学生对问题的综合分析的能力要求很高．