Question

15．已知抛物线x²=2py（p＞0）与直线2x-y+1=0交于A，B两点，$|AB|=2\sqrt{30}$，点M在抛物线上，MA⊥MB．
（1）求p的值；
（2）求点M的横坐标．

Answer 1

分析 （1）联立直线方程与抛物线方程，化为关于x的一元二次方程，由根与系数的关系得到A，B两点横坐标的和与积，由弦长公式求得p的值；
（2）由（1）求出A，B的坐标，设出M的坐标，利用MA⊥MB得，代入根与系数的关系求得答案．

解答 解：（1）将y=2x+1代入x²=2py，得x²-4px-2p=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=4p，x₁x₂=-2p，
由$|AB|=2\sqrt{30}$及p＞0，得p=1．
（2）由（1）得设点$M（{x_0}，\frac{{{x_0}^2}}{2}）$，$A（{x_1}，\frac{{{x_1}^2}}{2}）$，$B（{x_2}，\frac{{{x_2}^2}}{2}）$，
由MA⊥MB得$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}=0$，
即$\overrightarrow{MA}=（{x_1}-{x_0}，\frac{{{x_1}^2-{x_0}^2}}{2}）$，$\overrightarrow{MB}=（{x_2}-{x_0}，\frac{{{x_2}^2-{x_0}^2}}{2}）$，
$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}=（{x_1}-{x_0}）（{x_2}-{x_0}）+（\frac{{{x_1}^2-{x_0}^2}}{2}）（\frac{{{x_2}^2-{x_0}^2}}{2}）=0$，
∴（x₁+x₀）（x₂+x₀）+4=0，
∴${x_0}=-2±\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力，是中档题．