Question

7．设m，n∈N，f（x）=（1+x）^m+（1+x）ⁿ．
（1）当m=n=5时，若$f（x）={a_5}{（1-x）^5}+{a_4}{（1-x）^4}+…+{a_1}（1-x）+{a_0}$，求a₀+a₂+a₄的值；
（2）f（x）展开式中x的系数是9，当m，n变化时，求x²系数的最小值．

Answer 1

分析 （1）当m=n=5时，f（x）=2（1+x）⁵，令x=0时，x=2时，代入相加即可得出．
（2）由题意可得：${∁}_{m}^{1}+{∁}_{n}^{1}$=m+n=9．x²系数=${∁}_{m}^{2}+{∁}_{n}^{2}$=$\frac{{m}^{2}-m+{n}^{2}-n}{2}$=$（m-\frac{9}{2}）^{2}$+$\frac{63}{4}$．利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）当m=n=5时，f（x）=2（1+x）⁵，令x=0时，f（0）=a₅+a₄+…+a₁+a₀=2，
令x=2时，f（0）=-a₅+a₄+…-a₁+a₀=2×3⁵，
相加可得：a₀+a₂+a₄=$\frac{2+2×{3}^{5}}{2}$=244．
（2）由题意可得：${∁}_{m}^{1}+{∁}_{n}^{1}$=m+n=9．
x²系数=${∁}_{m}^{2}+{∁}_{n}^{2}$=$\frac{{m}^{2}-m+{n}^{2}-n}{2}$=$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}-9}{2}$=$\frac{{m}^{2}+（9-m）^{2}-9}{2}$=$（m-\frac{9}{2}）^{2}$+$\frac{63}{4}$．
又m，n∈N，∴m=4或5，其最小值为16．
即$\left\{\begin{array}{l}{m=4}\\{n=5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=5}\\{n=4}\end{array}\right.$时，x²系数的最小值为16．

点评 本题考查了二项式定理的展开式及其性质、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．