Question

17．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，$bcosA+\sqrt{3}bsinA-c-a=0$．
（1）求角B的大小；     
（2）若$b=\sqrt{3}$，求a+c的最大值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化简已知的等式，由内角和定理、诱导公式、两角和差的正弦公式化简后，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出B；
（2）由（1）和余弦定理列出方程化简后，利用完全平方公式和基本不等式求出a+c的最大值．

解答 解：（1）由题意得，$bcosA+\sqrt{3}bsinA-c-a=0$，
由正弦定理得，$sinBcosA+\sqrt{3}sinBsinA-sinC-sinA=0$，
所以$sinBcosA+\sqrt{3}sinBsinA-sin（{A+B}）-sinA=0$，
则$sinBcosA+\sqrt{3}sinBsinA-sinAcosB-cosAsinB-sinA=0$，
化简得，$\sqrt{3}sinBsinA-sinAcosB-sinA=0$，
又sinA≠0，则$\sqrt{3}sinB-cosB=1$，…（4分），
即$sin（{B-\frac{π}{6}}）=\frac{1}{2}$，
由于B∈（0，π），所以$B=\frac{π}{3}$…（7分）
（2）由（1）和余弦定理得，b²=a²+c²-2accosB…（9分），
又b=$\sqrt{3}$，化简得a²+c²-ac=3…（11分），
所以${（{a+c}）^2}=3+3ac≤3+3{（{\frac{a+c}{2}}）^2}$，
解得a+c≤$2\sqrt{3}$，当且仅当a=c取等号…（14分）
所以当$a=c=\sqrt{3}$时，a+c的最大值为$2\sqrt{3}$．…（15分）

点评 本题考查了正弦定理、余弦定理，内角和定理、诱导公式、两角和差的正弦公式，以及基本不等式在求最值中的应用，考查化简、变形能力．