Question

2．已知f（x）=x³+3ax²+bx+a²在x=-1时有极值0，则a-b=（　　）

• A． -7
• B． -2
• C． -7和-2
• D． 以上答案都不对

Answer 1

分析 求导函数，利用函数f（x）=x³+3ax²+bx+a²在x=-1处有极值0，建立方程组，求得a，b的值，再验证，即可得到结论．

解答 解：∵函数f（x）=x³+3ax²+bx+a²，
∴f'（x）=3x²+6ax+b，
又∵函数f（x）=x³+3ax²+bx+a²在x=-1处有极值0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3-6a+b=0}\\{-1+3a-b+{a}^{2}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=9}\end{array}\right.$，
当$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=3}\end{array}\right.$时，f'（x）=3x²+6ax+b=3（x+1）²=0，方程有两个相等的实数根，不满足题意；
当$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=9}\end{array}\right.$时，f'（x）=3x²+6ax+b=3（x+1）（x+3）=0，方程有两个不等的实数根，满足题意；
∴a-b=-7
故选：A．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查学生的计算能力，属于基础题．