Question

12．已知△ABC，若存在△A₁B₁C₁，满足$\frac{cosA}{sin{A}_{1}}$=$\frac{cosB}{sin{B}_{1}}$=$\frac{cosC}{sin{C}_{1}}$=1，则称△A₁B₁C₁是△ABC的一个“友好”三角形．在满足下述条件的三角形中，存在“友好”三角形的是②：（请写出符合要求的条件的序号）
①A=90°，B=60°，C=30°；②A=75°，B=60°，C=45°；③A=75°，B=75°，C=30°；④A=75°，B=65°，C=45°．

Answer 1

分析 由“友好”三角形的定义，根据已知三角形的度数，根据特殊角的三角形函数值，即可求得答案．

解答 解：①项，A=90°，cosA=0=sinA₁，A₁=180°或0，不满足三角形内角和为180°的条件，故①项不符合条件；
②项，cosC=cos45°=sinC₁，则C₁=45°或135°；cosB=cos60°=$\frac{1}{2}$=sinB₁，则B₁=30°或150°，
又三角形内角和为180°，
∴△A₁B₁C₁可能的组合是：$\left\{\begin{array}{l}{{A}_{1}=105°}\\{{B}_{1}=30°}\\{{C}_{1}=45°}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{A}_{1}=15°}\\{{B}_{1}=30°}\\{{C}_{1}=135°}\end{array}\right.$，
第一种情况A₁=105°时，cosA=cos75°≠sin105°，这种情况不符合题意；
当第二种情况A₁=15°，满足满足cosA=cos75°=sin15°，故②项符合条件；
③项，cosC=cos30°=sinC₁，则C₁=60°或120°，又A=B=75°，
∴A₁=B₁，
当C₁=60时，A₁=B₁=C₁=60°，
$\frac{cos75°}{sin60°}$≠$\frac{cos30°}{sin60°}$，即$\frac{cosA}{sin{A}_{1}}$≠$\frac{cosC}{cos{C}_{1}}$，不符合题意；
当C₁=120°时，A₁=B₁=30°，则$\frac{cos75°}{sin30°}$≠$\frac{cos30°}{sin120°}$，即$\frac{cosA}{sin{A}_{1}}$≠$\frac{cosC}{sin{C}_{1}}$，故③项不符合条件；
由A+B+C≠180°，不能构成三角形，故④项不符合条件；
故答案为：②

点评 本题考查新定义，考查特殊角的三角函数值，考查计算能力，属于中档题．