Question

2．F₁，F₂是椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的两焦点，E上任一点P满足$\overrightarrow{P{F_1}}$•$\overrightarrow{P{F_2}}$≥$\frac{1}{2}{a^2}$，则椭圆E的离心率的取值范围是（0，$\frac{1}{2}$]．

Answer 1

分析 由题意可知F₁（-c，0），F₂（c，0），设点P为（x，y），根据点P满足$\overrightarrow{P{F_1}}$•$\overrightarrow{P{F_2}}$≥$\frac{1}{2}{a^2}$，求解a与c的关系可得答案．

解答 解：由题意可知F₁（-c，0），F₂（c，0），设点P为（x，y），
∵$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），
∴x2=$\frac{{a}^{2}（{b}^{2}-{y}^{2}）}{{b}^{2}}$
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}$=（-c-x，-y），
$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（c-x，-y），
P满足$\overrightarrow{P{F_1}}$•$\overrightarrow{P{F_2}}$≥$\frac{1}{2}{a^2}$，即$\overrightarrow{P{F_1}}$•$\overrightarrow{P{F_2}}$=x²-c²+y²=$\frac{{a}^{2}（{b}^{2}-{y}^{2}）}{{b}^{2}}$-c²+y²=${a}^{2}-{c}^{2}-\frac{{c}^{2}{y}^{2}}{{b}^{2}}$
当y=b时，$\overrightarrow{P{F_1}}$•$\overrightarrow{P{F_2}}$取得最小值为a²-2c²
故为a²-2c²$≥\frac{1}{2}$a²，
解得：e$≤\frac{1}{2}$．
∴椭圆E的离心率的取值范围是（0，$\frac{1}{2}$]．
故答案为（0，$\frac{1}{2}$]．

点评 本题考查了椭圆离心率的求法和化简计算能力．属于中档题．