Question

14．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，侧面PAD同时垂直侧面PAB与侧面PDC．若PA=AB=AD=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$PB，则$\frac{BC}{AD}$=$\frac{3}{2}$，直线PC与底面ABCD所成角的正切值为$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

Answer 1

分析 延长BA，CD交于H，连接PH，运用面面垂直的性质定理，可得PH⊥平面PAD，设PB=$\sqrt{3}$，可得PA=AB=AD=1，运用余弦定理可得∠PAB，在直角三角形HPA中，∠HAP=60°，求得AH，由三角形相似知识，可得$\frac{BC}{AD}$；
求出HP，HD，PD，PC，证得AD⊥PA，又AD⊥AB，AB∩PA=A，即有AD⊥平面PAB，可得BC⊥平面PAB，设P到平面ABCD的距离为d，由V_P-ABC=V_C-PAB，运用三棱锥的体积公式，求得d，运用同角三角函数的关系，可得直线PC与底面ABCD所成角的正切值．

解答 解：延长BA，CD交于H，连接PH，
可得平面PAB∩平面PCD=PH，
由侧面PAD同时垂直侧面PAB与侧面PDC，
运用面面垂直的性质定理，可得PH⊥平面PAD，
即有HP⊥PA，
设PB=$\sqrt{3}$，
由PA=AB=AD=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$PB，可得PA=AB=AD=1，
在△PAB中，由余弦定理可得，cos∠PAB=$\frac{1+1-3}{2×1×1}$=-$\frac{1}{2}$，
即有∠PAB=120°，
在直角三角形HPA中，∠HAP=60°，
可得AH=$\frac{AP}{cos∠HAP}$=$\frac{1}{cos60°}$=2，
在三角形HBC中，由三角形的相似知识可得，$\frac{BC}{AD}$=$\frac{HB}{HA}$=$\frac{3}{2}$；
在△HPA中，HP=APtan60°=$\sqrt{3}$，
在直角三角形AHD中，HD=$\sqrt{A{H}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{4+1}$=$\sqrt{5}$，
在直角三角形HPD中，PD=$\sqrt{H{D}^{2}-H{P}^{2}}$=$\sqrt{5-3}$=$\sqrt{2}$，
PA²+AD²=PD²，可得AD⊥PA，
又AD⊥AB，AB∩PA=A，
即有AD⊥平面PAB，
由BC∥AD，可得BC⊥平面PAB，
设P到平面ABCD的距离为d，
由V_P-ABC=V_C-PAB，可得$\frac{1}{3}$d•S_△ABC=$\frac{1}{3}$BC•S_△PAB，
即$\frac{1}{3}$d•$\frac{1}{2}$•1•$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{3}$•$\frac{3}{2}$•$\frac{1}{2}$•1•1•sin120°，
解得d=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
在直角三角形BCP中，PC=$\sqrt{B{C}^{2}+P{B}^{2}}$=$\sqrt{\frac{9}{4}+3}$=$\frac{\sqrt{21}}{2}$，
可得PC和平面ABCD所成角的正弦值为$\frac{d}{PC}$=$\frac{1}{\sqrt{7}}$，
余弦值为$\sqrt{1-\frac{1}{7}}$=$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}$，
则直线PC与底面ABCD所成角的正切值为$\frac{1}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
故答案为：$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

点评 本题考查面面垂直的性质定理的运用，直线和平面所成角的正切值，考查运算能力，运用三角形相似知识和等积法是解题的关键，属于难题．