Question

19．若命题“直线y=kx+2与圆x²+y²=1有公共点”是假命题，则实数k的取值范围是（-$\sqrt{3}，\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 由题意可知：圆心（0，0）到直线y=kx+2距离d=$\frac{丨2丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$≤1，由命题P“直线y=kx+2与圆x²+y²=1有公共点”是假命题，则￢P为真，即可求得k的取值范围．

解答 解：由题意可知：直线y=kx+2与圆x²+y²=1有公共点，即圆心到直线y=kx+2距离d≤1，
∴圆心（0，0）到直线y=kx+2距离d=$\frac{丨2丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$≤1，解得：k≥$\sqrt{3}$或k≤-$\sqrt{3}$，
由命题P“直线y=kx+2与圆x²+y²=1有公共点”是假命题，则￢P为真，
∴-$\sqrt{3}$＜k＜$\sqrt{3}$，
实数k的取值范围（-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$），
故答案为：（-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查命题的真假性的判断，考查计算能力，属于中档题．