Question

1．已知P：-x²+8x+20≥0，q：-x²-2x+1-m²≤0
（Ⅰ）若m＞0，且p是q充分不必要条件，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若“￢p”是“￢q”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）解-x²+8x+20≥0得：-2≤x≤10，若m＞0，则解-x²-2x+1-m²≤0得：1-m≤x≤1+m，若p是q充分不必要条件，则[-2，10]是[1-m，1+m]的真子集，进而得到答案；
（Ⅱ）若“￢p”是“￢q”的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件，进而得到答案．

解答 解：（1）解-x²+8x+20≥0得：-2≤x≤10，
若m＞0，则解-x²-2x+1-m²≤0得：1-m≤x≤1+m，
若p是q充分不必要条件，
则[-2，10]是[1-m，1+m]的真子集．
∴$\left\{\begin{array}{l}m＞0\\ 1-m≤-2\\ 1+m≥10\end{array}\right.$，
解得：m≥9．（4分）
（2）∵“非p”是“非q”的充分不必要条件，
∴q是p的充分不必要条件．
①当m＞0时，由（1）得：$\left\{\begin{array}{l}m＞0\\ 1-m≥-2\\ 1+m≤10\end{array}\right.$，
解得：0＜m≤3．（7分）
②当m=0时，Q：x=1，符合，（8分）
③当m＜0时，-3＜m≤0，（11分）
∴实数m的取值范围为-3≤m≤3．    （12分）

点评 本题考查的知识点是充要条件的定义，二次不等式的解法，集合包含关系的判断与应用，难度中档．