Question

11．已知圆${x^2}+{y^2}+（4-2a）x-2\sqrt{3}ay+4{a^2}-4a-12=0$，定直线l经过点A（1，0），若对任意的实数a，定直线l被圆C截得的弦长始终为定值d，求得此定值d等于（　　）

• A． $2\sqrt{7}$
• B． $\sqrt{31}$
• C． $\sqrt{34}$
• D． $\sqrt{37}$

Answer 1

分析 根据圆的方程求出圆心和半径，由题意可得圆心C到直线l的距离为定值．当直线l的斜率不存在时，经过检验不符合条件．当直线l的斜率存在时，直线l的方程为 y-0=k（x-1），圆心C到直线l的距离为定值，即可得出结论．

解答 解：圆C：${x^2}+{y^2}+（4-2a）x-2\sqrt{3}ay+4{a^2}-4a-12=0$ 即[x-（a-2）]²+（y-$\sqrt{3}a$）²=16，表示以C（a-2，$\sqrt{3}a$）为圆心，半径等于4的圆．
∵直线l经过点（1，0），对任意的实数m，定直线l被圆C截得的弦长为定值，则圆心C到直线l的距离为定值．
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，圆心C到直线l的距离为|a-2-1|=|a-3|，不是定值．
当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为 y-0=k（x-1），即 kx-y-k=0．
此时，圆心C到直线l的距离h=$\frac{|k（a-2）-\sqrt{3}a-k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$为定值，与a无关，
故k=$\sqrt{3}$，h=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴d=2$\sqrt{16-{（\frac{3\sqrt{3}}{2}）}^{2}}$=$\sqrt{37}$，
故选：D

点评 本题主要考查圆的标准方程，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题