Question

3．若直角△ABC内接于单位圆O，M是圆O内的一点，若|$\overrightarrow{OM}$|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则|$\overrightarrow{MA}$+$\overrightarrow{MB}$+$\overrightarrow{MC}$|的最大值是（　　）

• A． $\sqrt{2}$+1
• B． $\sqrt{2}$+2
• C． $\frac{3\sqrt{2}}{2}$+1
• D． $\frac{3\sqrt{2}}{2}$+2

Answer 1

分析 由直角三角形可知O为斜边AC的中点，于是$\overrightarrow{MA}$+$\overrightarrow{MB}$+$\overrightarrow{MC}$=2$\overrightarrow{MO}$+$\overrightarrow{MB}$=3$\overrightarrow{MO}$+$\overrightarrow{OB}$，所以当$\overrightarrow{MO}$和$\overrightarrow{OB}$同向时，模长最大．

解答 解：设直角三角形的斜边为AC，∵直角△ABC内接于单位圆O，
∴O是AC的中点，
∴|$\overrightarrow{MA}$+$\overrightarrow{MB}$+$\overrightarrow{MC}$|=|2$\overrightarrow{MO}$+$\overrightarrow{MB}$|=|3$\overrightarrow{MO}$+$\overrightarrow{OB}$|，
∴当$\overrightarrow{MO}$和$\overrightarrow{OB}$同向时，|3$\overrightarrow{MO}$+$\overrightarrow{OB}$|取得最大值|3$\overrightarrow{MO}$|+|$\overrightarrow{OB}$|=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$+1．
故选：C．

点评 本题考查了平面向量线性运算的几何意义，属于中档题．