练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    已知点（1，
    1
    3
    ）是函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）图象上的一点，等比数列{an}的前n项和为f（n）-c，数列{bn}（bn＞0）的首项为c，且前n项和Sn满足Sn-Sn-1=
    		Sn
    +
    		Sn-1
    （n≥2）．
    （1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
    （2）若数列{
    1
    bnbn+1
    }的前n项和为Tn，问使Tn＞
    1000
    2011
    的最小正整数n是多少？
    （3）若cn=-
    1
    2
    an•bn，求数列{cn}的前n项和．
    分析：（1）由f（1）=
    1
    3
    可求得a，从而得f（x），求出a1，a2，a3，根据等比中项公式可求得c值，进而可得公比，求得an；由Sn-Sn-1=
    		Sn
    +
    		Sn-1
    ，可得
    		Sn
    -
    		Sn-1
    =1，由等差数列的定义可判断{
    		Sn
    }}构成等差数列，求出Sn，由Sn与bn的关系可求得bn；
    （2）利用裂项相消法可求得Tn，进而可解Tn＞
    1000
    2011
    ，得到结果；
    （3）先表示出cn，然后利用错位相减法可求得数列{cn}的前n项和．
    解答：解：（1）∵f（x）=ax，且f（1）=
    1
    3
    ，∴a=
    1
    3
    ，
    ∴f（x）=(
    1
    3
    )x    ．
    ∴a1=f（1）-c=
    1
    3
    -    c，a2=[f（2）-c]-[f（1）-c]=-
    2
    9
    ，a3=[f（3）-c]-[f（2）-c]=-
    2
    27
    ．
    又数列{an}成等比数列，
    ∴(-
    2
    9
    )2=(
    1
    3
    -c)(-
    2
    27
    )    ，解得c=1，
    又公比q=
    a2
    a1
    =
    1
    3
    ，∴an=-
    2
    3
    •(
    1
    3
    )n-1    =-
    2
    3n
    ，
    由Sn-Sn-1=
    		Sn
    +
    		Sn-1
    ，得（
    		Sn
    +
    		Sn-1
    ）（
    		Sn
    -
    		Sn-1
    ）=
    		Sn
    +
    		Sn-1
    （n≥2），
    又bn＞0，∴
    		Sn
    -
    		Sn-1
    =1，
    ∴数列{
    		Sn
    }}构成一个首项为1公差为1的等差数列，
    则
    		Sn
    =n，∴Sn=n2，
    当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=n2-（n-1）2=2n-1，又该式满足b1=c=1，
    ∴bn=2n-1；  
    （2）Tn=
    1
    b1b2
    +
    1
    b2b3
    +…+
    1
    bnbn+1

    =
    1
    1×3
    +
    1
    3×5
    +…+
    1
    (2n-1)(2n+1)
         
    =
    1
    2
    (1-
    1
    3
    +
    1
    3
    -
    1
    5
    +…+
    1
    2n-1
    -
    1
    2n+1
    )
    =
    1
    2
    （1-
    1
    2n+1
    ）=
    n
    2n+1
    ，
    由Tn＞
    1000
    2011
    ，得
    n
    2n+1
    ＞
    1000
    2011
    ，解得n＞
    1000
    11
    ，
    ∴使Tn＞
    1000
    2011
    的最小正整数n是91．
    （3）cn=-
    1
    2
    anbn    =-
    1
    2
    •（-
    2
    3n
    ）•（2n-1）=
    2n-1
    3n
    ，
    设{cn}的前n项和为Rn，则Rn=
    1
    3
    +
    3
    32
    +
    5
    33
    +…+
    2n-1
    3n
    ①，
    1
    3
    Rn=
    1
    32
    +
    3
    33
    +
    5
    34
    +…+
    2n-1
    3n+1
    ②，
    ①-②得，
    2
    3
    Rn    =
    1
    3
    +
    2
    32
    +
    2
    33
    +…+
    2
    3n
    -
    2n-1
    3n+1
    =
    1
    3
    +2×
    1
    9
    (1-
    1
    3n-1
    )
    1-
    1
    3
    =
    2
    3
    -
    2n+2
    3n+1
    ，
    ∴Rn=1-
    n+1
    3n
    ．
    点评：本题考查了数列与不等式的综合，考查了数列求和的错位相减法和列项相消法，是高考数列部分的常见题型，属中等以上难度问题．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知点（1，
    1
    3
    ）是函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）的图象上一点，等比数列{an}的前n项和为f（n）-c，数列{bn}（bn＞0）的首项为c，且前n项和Sn满足Sn-Sn-1=
    		Sn
    +
    		Sn-1
    （n≥2）．记数列{
    1
    bnbn+1
    }前n项和为Tn，
    （1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
    （2）若对任意正整数n，当m∈[-1，1]时，不等式t2-2mt+
    1
    2
    ＞Tn恒成立，求实数t的取值范围
    （3）是否存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T1，Tm，Tn成等比数列？若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知点（1，
    1
    3
    ）是函数f（x）=ax（a＞0）且a≠1）的图象上一点，等比数列{an}的前n项和Tn=f（n）-c（c为常数）．数列{bn}的各项为正数，首项为c，前n项和Sn满足Sn-Sn-1=
    		Sn
    +
    		Sn-1
    （n≥2）．
    （Ⅰ）求常数c；
    （Ⅱ）求数列{an}和{bn}的通项公式．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知点（1，
    1
    3
    ）是函数f（x）=ax（a＞0，且a≠1）的图象上一点，等比数列an的前n项和为f（n）-c，数列bn（bn＞0）的首项为c，且前n项和Sn满足Sn-Sn-1=
    		Sn
    +
    		Sn-1
    （n≥2）．
    （1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
    （2）若数列{
    1
    bnbn+1
    前n项和为Tn，问：Tn＞
    1000
    2013
    的最小正整数n是多少？

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知点（1，
    1
    3
    ）是函数f（x）ax （a＞0且a≠1）的图象上一点，等比数列{an}的前n项和为f（n）-c，数列{bn}（bn＞0）的首项为c，且前n项和Sn满足sn-sn-1=
    		sn
    +
    		sn-1
    （n≥2）．
    （1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
    （2）若数列{cn}的通项cn=bn•(
    1
    3
    )n    ，求数列{cn}的n项和Rn；
    （3）若数列{
    1
    bnbn+1
    }前n项和为Tn，问Tn＞
    1000
    2013
    的最小正整数n是多少？

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2009•奉贤区一模）已知点（1，
    13
    ）是函数f（x）=ax （a＞0且，a≠1）的图象上一点，等比数列{an}的前n项和为f（n）-c，求数列{an}的通项公式．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案