已知椭圆E:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1离心率为$\frac{1}{2}$.F1.F2分别为左.右焦点.过F1垂直与长轴的弦长为3$\sqrt{2}$．(1)求椭圆的标准方程,(2)如图.以椭圆长轴AB为直径的圆:x2+y2=a2.P为圆O上与A.B不重合的一点.设PA与椭圆交于D.设直线DF2.PB的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

15．

已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）离心率为$\frac{1}{2}$，F₁、F₂分别为左、右焦点，过F₁垂直与长轴的弦长为3$\sqrt{2}$．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图，以椭圆长轴AB为直径的圆：x²+y²=a²，P为圆O上与A，B不重合的一点，设PA与椭圆交于D，设直线DF₂，PB的斜率分别为k₁，k₂，若k₁=λk₂，求实数λ的取值范围．

分析（1）把x=-c代入椭圆的标准方程可得：$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，解得y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，可得$\frac{2{b}^{2}}{a}$=3$\sqrt{2}$，又$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a²=b²+c²．联立解出即可得出．
（2）A$（-2\sqrt{2}，0）$，B$（2\sqrt{2}，0）$，F₂$（\sqrt{2}，0）$．直线PB的方程为：$y={k}_{2}（x-2\sqrt{2}）$，则直线PA的斜率为-$\frac{1}{{k}_{2}}$，其方程为：y=-$\frac{1}{{k}_{2}}$（x+2$\sqrt{2}$），与椭圆方程联立化为$（3{k}_{2}^{2}+4）{x}^{2}$+16$\sqrt{2}$x+32-24${k}_{2}^{2}$=0，由于$-2\sqrt{2}+{x}_{D}$=$\frac{-16\sqrt{2}}{3{k}_{2}^{2}+4}$，解得x_D，y_D，当x_D≠±2时，可得k₁=$\frac{-4{k}_{2}}{{k}_{2}^{2}-4}$．化为λ=$\frac{4}{4-{k}_{2}^{2}}$，即可得出．

解答解：（1）把x=-c代入椭圆的标准方程可得：$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，解得y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
∴$\frac{2{b}^{2}}{a}$=3$\sqrt{2}$，又$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a²=b²+c²．
联立解出：c=$\sqrt{2}$，a=2$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{6}$．
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{6}=1$．
（2）A$（-2\sqrt{2}，0）$，B$（2\sqrt{2}，0）$，F₂$（\sqrt{2}，0）$．
直线PB的方程为：$y={k}_{2}（x-2\sqrt{2}）$，
则直线PA的斜率为-$\frac{1}{{k}_{2}}$，其方程为：y=-$\frac{1}{{k}_{2}}$（x+2$\sqrt{2}$），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{{k}_{2}}（x+2\sqrt{2}）}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{6}=1}\end{array}\right.$，化为$（3{k}_{2}^{2}+4）{x}^{2}$+16$\sqrt{2}$x+32-24${k}_{2}^{2}$=0，
△＞0，
∴$-2\sqrt{2}+{x}_{D}$=$\frac{-16\sqrt{2}}{3{k}_{2}^{2}+4}$，
解得x_D=$\frac{6\sqrt{2}{k}_{2}^{2}-8\sqrt{2}}{3{k}_{2}^{2}+4}$，y_D=$\frac{-12\sqrt{2}{k}_{2}}{3{k}_{2}^{2}+4}$，
x_D-$\sqrt{2}$=$\frac{6\sqrt{2}{k}_{2}^{2}-8\sqrt{2}}{3{k}_{2}^{2}+4}-\sqrt{2}$=$\frac{3\sqrt{2}{k}_{2}^{2}-12\sqrt{2}}{3{k}_{2}^{2}+4}$．
当x_D≠±2时，
∴k₁=$\frac{-12\sqrt{2}{k}_{2}}{3\sqrt{2}{k}_{2}^{2}-12\sqrt{2}}$=$\frac{-4{k}_{2}}{{k}_{2}^{2}-4}$．
∵k₁=λk₂，∴$\frac{-4{k}_{2}}{{k}_{2}^{2}-4}$=λ•k₂．
化为λ=$\frac{4}{4-{k}_{2}^{2}}$，
∵k₂∈R，k₂≠±2，k₂≠0，
∴λ∈（-∞，0）∪（1，+∞）．

点评本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线点斜式、斜率计算公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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