Question

7．设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0是，f（x）=x²，若对任意的x∈[-2-$\sqrt{2}$，2+$\sqrt{2}$]，不等式f（x+t）≤f（$\sqrt{2}$x）恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 根据函数的奇偶性的性质求出函数f（x）的表达式，判断函数的单调性，利用参数分离法进行求解即可．

解答 解：若x＜0，则-x＞0，
若当x≥0是，f（x）=x²，
则当-x＞0是，f（-x）=x²，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（-x）=x²=-f（x），
即f（x）=-x²，x＜0，
则函数f（x）在定义域上为增函数，
若若对任意的x∈[-2-$\sqrt{2}$，2+$\sqrt{2}$]，不等式f（x+t）≤f（$\sqrt{2}$x）恒成立，
则若对任意的x∈[-2-$\sqrt{2}$，2+$\sqrt{2}$]，不等式x+t≤$\sqrt{2}$x恒成立，
即t≤$\sqrt{2}$x-x=（$\sqrt{2}$-1）x成立，
∵-2-$\sqrt{2}$≤x≤2+$\sqrt{2}$]，
∴（$\sqrt{2}$-1）（-2-$\sqrt{2}$）≤（$\sqrt{2}$-1）x≤（2+$\sqrt{2}$）（$\sqrt{2}$-1），
即-$\sqrt{2}$≤（$\sqrt{2}$-1）x≤$\sqrt{2}$，
即t≤-$\sqrt{2}$，
即实数t的取值范围是（-∞，-$\sqrt{2}$]

点评 本题主要考查不等式恒成立问题，利用函数的奇偶性求出函数的解析式以及判断函数的单调性是解决本题的关键．