Question

f(x)=

x

1+x2

是定义在（-1，1）上的函数
（1）用定义证明f（x）在（-1，1）上是增函数；
（2）解不等式f（t-1）+f（t）＜0．

Answer 1

分析：（1）任取（-1，1）上的两实数x₁，x₂，且x₁＜x₂，利用实数的性质分析f（x₁），f（x₂）的大小，进而根据函数单调性的定义，可得结论；
（2）根据函数的奇偶性的定义，分析函数的奇偶性，进而结合函数的单调性，对不等式进行变形，可得答案．

解答：解：（1）设x₁，x₂为（-1，1）内任意两实数，且x₁＜x₂，则f(x1)-f(x2)=

x1

1+x12

-

x2

1+x22

=

x1(1+x22)-x2(1+x12)

(1+x12)(1+x22)

=

(x1-x2)(1-x1x2)

(1+x12)(1+x22)

又因为-1＜x₁＜x₂＜1，
所以x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂）
所以函数f（x）在（-1，1）上是增函数；-----------------------------------（5分）
（2）由函数f（x）是定义在（-1，1）上的奇函数且f（t-1）+f（t）＜0得：
f（t-1）＜-f（t）=f（-t）
又由（1）可知函数f（x）是定义在（-1，1）的增函数，
所以有

-1＜t-1＜1 -1＜t＜1 t-1＜-t

⇒0＜t＜

1

2

．---------------------------------（12分）

点评：本题考查的知识点是函数单调性的性质及函数单调性的判断与证明，函数的奇偶性的判断与应用，是函数图象和性质的综合应用，熟练掌握函数单调性和奇偶性的定义是解答的关键．