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    已知函数f(x)=
    x1+x2
    ．
    （1）求f（-x）+f（x）；
    （2）判断f（x）在区间（-1，0）上的单调性并证明．
    分析：（1）根据函数f(x)=
    x
    1+x2
    ，求出f（-x），即可求得f（-x）+f（x）=0．
    （2）利用函数的单调性的定义证明函数f（x）在区间（-1，0）上是增函数．
    解答：解：（1）∵函数f(x)=
    x
    1+x2
    ，∴f(-x)=
    -x
    1+x2
    ，∴f（-x）+f（x）=0．
    （2）f（x）在区间（-1，0）上是增函数．
    证明：设-1＜x1＜x2＜0，
    ∵f（x1）-f（x2）=
    x1
    1+x12
    -
    x2
    1+x22
    =
    x1(1+x22)-x2(1+x12)
    (1+x12)(1+x2)2

    =
    (x1-x2 )+x1x2(x2-x1)
    (1+x12)(1+x2)2
    =
    (x1-x2 )•(1-x1x2)
    (1+x12)(1+x2)2
    ．
    由-1＜x1＜x2＜0可得 x1-x2＜0，1-x1•x2＞0，∴
    (x1-x2 )•(1-x1x2)
    (1+x12)(1+x2)2
    ＜0．
    ∴f（x1）＜f（x2），故f（x）在区间（-1，0）上是增函数．
    点评：本题主要考查函数的单调性的判断和证明，属于中档题．
    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)为偶函数，且f（3）＜f（5）．
    （1）求m的值，并确定f（x）的解析式；
    （2）若g（x）=loga[f（x）-ax]（a＞0且a≠1），是否存在实数a，使g（x）在区间[2，3]上的最大值为2，若存在，请求出a的值，若不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2011•上海模拟）已知函数f(x)=(
    x
    a
    -1)2+(
    b
    x
    -1)2，x∈(0，+∞)    ，其中0＜a＜b．
    （1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
    （2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
    （3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
    求证：f1(x)+f2(x)＞
    4c2
    k(k+c)
    ．

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    科目：高中数学 来源：浙江省东阳中学高三10月阶段性考试数学理科试题 题型：022

    已知函数f(x)的图像在[a，b]上连续不断，f1(x)＝min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，f2(x)＝max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，其中，min{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最小值，max{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最大值，若存在最小正整数k，使得f2(x)－f1(x)≤k(x－a)对任意的x∈[a，b]成立，则称函数f(x)为[a，b]上的“k阶收缩函数”．已知函数f(x)＝x2，x∈[－1，4]为[－1，4]上的“k阶收缩函数”，则k的值是_________．

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    科目：高中数学 来源：上海模拟 题型：解答题

    已知函数f(x)=(
    x
    a
    -1)2+(
    b
    x
    -1)2，x∈(0，+∞)    ，其中0＜a＜b．
    （1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
    （2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
    （3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
    求证：f1(x)+f2(x)＞
    4c2
    k(k+c)
    ．

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    科目：高中数学 来源：2009-2010学年河南省许昌市长葛三高高三第七次考试数学试卷（理科）（解析版） 题型：选择题

    已知函数f（x）、g（x），下列说法正确的是（ ）
    A．f（x）是奇函数，g（x）是奇函数，则f（x）+g（x）是奇函数
    B．f（x）是偶函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）是偶函数
    C．f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）一定是奇函数或偶函数
    D．f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）可以是奇函数或偶函数

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