Question

15．已知两个定点A（-1，0）、B（2，0），求使∠MBA=2∠MAB的点M的轨迹方程．

Answer 1

分析 设动点M坐标为（x，y），∠MAB=β，∠MBA=α，即α=2β，可得tanα=tan2β，利用二倍角的正切函数公式化简，得到关系式，分三种情况考虑：如图（1），点M在x轴上方时；如图（2）当M在x轴下方时；如图（3）当M在x轴上时，分别列出轨迹方程即可．

解答 解：设动点M的坐标为（x，y），∠MAB=β，
∠MBA=α，即α=2β，
∴tanα=tan2β，则tanα=$\frac{2tanβ}{1-tan2β}$①，
（1）如图（1），当点M在x轴上方时，tanβ=$\frac{y}{x+1}$，
tanα=$\frac{y}{2-x}$，
将其代入①式并整理得：3x²-y²=3（x＞0，y＞0）；                
（2）如图（2），当点M在x轴的下方时，
tanβ=$\frac{-y}{x+1}$，tanα=$\frac{-y}{2-x}$，
将其代入①式并整理得3x²-y²=3（x＞0，y＜0）；
（3）当点M在x轴上时，若满足α=2β，M点只能在线段AB上运动（端点A、B除外），只能有α=β=0．
综上所述，可知点M的轨迹方程为3x²-y²=3（右支）或y=0 （-1＜x＜2）．

点评 此题考查了轨迹方程，利用了分类讨论的思想，结合图形、考虑问题全面是解本题的关键．