Question

8．如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，M，N分别为A₁D₁和AA₁的中点，则下列四种说法中正确的个数为（　　）
①C₁M∥AC；
②BD₁⊥AC；
③BC₁与AC的所成角为60°；
④CD与BN为异面直线．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 在①中，C₁M与AC是异面直线；在②中，由AC⊥平面BDD₁，知BD₁⊥AC；在③中，由AC∥A₁C₁，BC=A₁C₁=BA₁，知BC₁与AC的所成角为60°；在④中，由CD∥AB，AB∩BN=B，知CD与BN既为异面直线．

解答 解：由正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，M，N分别为A₁D₁和AA₁的中点，知：
在①中，AC∥A₁C₁，A₁C₁∩C₁M=C₁，∴C₁M与AC是异面直线，故①错误；
在②中，∵AC⊥DD₁，AC⊥BD，BD∩DD₁=D，
∴AC⊥平面BDD₁，又BD?平面BDD₁，故BD₁⊥AC，故②正确；
在③中，AC∥A₁C₁，BC=A₁C₁=BA₁，∴BC₁与AC的所成角为60°，故③正确；
在④中，CD∥AB，AB∩BN=B，故CD与BN既为异面直线，故④正确．
故选：C．

点评 本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置的关系的合理运用．