Question

设函数f（x）=alnx+

1-a

2

x²-bx，a∈R且a≠1，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率为0．
（1）求b的值；
（2）若存在x∈[1，+∞），使得f（x）＜

a

a-1

，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：分类讨论,导数的概念及应用,导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：（1）求出导数，利用导数的几何意义即可得出；
（2）求出导数，对a分类讨论：①当a≤

1

2

时，②当

1

2

＜a＜1时，③若a＞1时，再利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．

解答： 解：（1）函数f（x）=alnx+

1-a

2

x²-bx，a∈R且a≠1，
导数f′（x）=

a

x

+（1-a）x-b（x＞0），
∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，
∴f′（1）=a+（1-a）×1-b=0，
解得b=1．
（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
由（1）可知：f（x）=alnx+

1-a

2

x²-x，
∴f′（x）=

a

x

+（1-a）x-1=

1-a

x

（x-1）（x-

a

1-a

）．
①当a≤

1

2

时，则

a

1-a

≤1，
则当x＞1时，f′（x）＞0，
∴函数f（x）在（1，+∞）单调递增，
∴存在x≥1，使得f（x）＜

a

a-1

的充要条件是f（1）＜

a

a-1

，即

1-a

2

-1＜

a

a-1

，
解得-

2

-1＜a＜

2

-1；
②当

1

2

a＜1时，则

a

1-a

＞1，
则当x∈（1，

a

1-a

）时，f′（x）＜0，函数f（x）在（1，

a

1-a

）上单调递减；
当x∈（

a

1-a

，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）在（

a

1-a

，+∞）上单调递增．
∴存在x≥1，使得f（x）＜

a

a-1

的充要条件是f（

a

1-a

）＜

a

a-1

，
而f（

a

1-a

）=aln

a

1-a

+

a2

2(1-a)

+

a

1-a

＞

a

a-1

，不符合题意，应舍去．
③若a＞1时，f（1）=

1-a

2

-1=

-a-1

2

＜

a

a-1

，成立．
综上可得：a的取值范围是（-

2

-1，

2

-1）∪（1，+∞）．

点评：本题考查了导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性极值与最值等基础知识与基本技能方法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．