Question

19．已知二次函数f（x）的最小值为-1，且f（-4）=f（0）=3
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在区间[2a，a+1]上是单调函数，求实数a的取值范围；
（3）求f（x）在区间[t，t+1]上的最大值g（t），并求g（t）的最值．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数f（x）的最小值为-1，且f（0）=f（-4）=3，可得对称轴为x=-2，可设f（x）=a（x+1）²-1，由f（0）=3，求出a的值即可；
（2）根据 f（x）在区间[2a，a+1]上是单调函数则对称轴应该在区间的左侧或在区间的右侧，从而可求出a的取值范围；
（3）f（x）=x²+4x+3=（x+2）²-1，顶点是（-2，-1），由于抛物线开口向上，分类讨论，确定对称轴与区间的位置关系，即可得到结论．

解答 解：（1）由f（-4）=f（0）=3得：对称轴x=-2，
设f（x）=a（x+2）²-1，由f（0）=3，得a=1，
故f（x）=x²+4x+3．
（2）二次函数的对称轴为x=-2，
当对称轴在区间的左侧时，
函数f（x）在区间[2a，a+1]上单调递增，
即2a≥-2解得a≥-1，
当对称轴在区间的右侧时，
函数f（x）在区间[2a，a+1]上单调递减，
即a+1≤-2解得a≤-3，
综上，实数a的取值范围为（-∞，-3]∪[-1，+∞）；
（3）f（x）=x²+4x+3=（x+2）²-1，顶点是（-2，-1），由于抛物线开口向上
①当t+1＜-2，即t-3时，最大值是g（t）=f（t）=t²+4t+3，
②当t＞-2时，最大值是g（t）=f（t+1）=（t+1）²+4（t+1）+3=t²+6t+8；
③当-2.5＜t＜-2时，最大值是g（t）=f（t+1）=（t+1）²+4（t+1）+3=t²+6t+8；
④-3＜t≤-2.5时，最大值是g（t）=f（t）=t²+4t+3，
∴g（t）=$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}+4t+3，t≤-2.5}\\{{t}^{2}+6t+8，t＞-2.5}\end{array}\right.$，
当t≤-2.5时：g（t）=（t+2）²-1，最小值是g（-2.5）=-$\frac{3}{4}$，无最大值，
当t＞-2.5时：g（t）=（t+3）²-1，最小值是g（-2.5）=-$\frac{3}{4}$，无最大值，
故g（t）的最小值是-$\frac{3}{4}$，无最大值．

点评 本题主要考查了二次函数的性质，以及二次函数在闭区间上的最值，同考查了分类讨论的数学思想．