Question

①若f′（x）=1，则f（x）=x+C1，
②若f″（x）=[f′（x）]′=1，则f（x）=

1

2

x2+C2x+C1，
③若f（3）（x）=[f″（x）]′=1，则f（x）=

1

6

x3+C3x2+C2x+C1，
④若f（4）（x）=[f（3）（x）]′=1，则f（x）=

1

24

x4+C4x3+C3x2+C2x+C1，
由以上结论，推测出一般的结论：
若f（n）（x）=[f（n-1）（x）]′=1，则f（x）=

1

n!

xⁿ+…+C₄x³+C₃x²+C₂x+C₁

．

Answer 1

分析：由已知中的结论：①若f′（x）=1，则f（x）=x+C₁，②若f″（x）=[f′（x）]′=1，则f（x）=

1

2

x²+C₂x+C₁…，我们易得到等式右边是关于x的降幂排列，首项的次数是n，系数为

1

1×2×3×…×n

，由此不难归纳出答案．

解答：解：由已知中等式：
①若f′（x）=1，则f（x）=x+C₁，
②若f″（x）=[f′（x）]′=1，则f（x）=

1

2

x²+C₂x+C₁…，
③若f（3）（x）=[f″（x）]′=1，则f（x）=

1

6

x³+C₃x²+C₂x+C₁．
…
我们易得到等式右边是关于x的降幂排列，首项的次数是n，系数为

1

1×2×3×…×n

即

1

n!

，
由此我们可以推论出一个一般的结论：对于n∈N^*，
f（x）=

1

n!

xⁿ+…+C₄x³+C₃x²+C₂x+C₁
故答案为：

1

n!

xⁿ+…+C₄x³+C₃x²+C₂x+C₁．

点评：本题考查的知识点是归纳推理，归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．