Question

已知函数f（x）=log

1

2

（sinx-cosx）．
（1）求它的定义域和值域；
（2）判定它的奇偶性；
（3）判定它的周期性，若是周期函数，求出它的最小正周期．

Answer 1

分析：（1）由sinx-cosx＞0可得，

2

sin（x-

π

4

）＞0，故有 2kπ+0＜x-

π

4

＜2kπ+π，k∈z，由此求得x的范围，即可求得函数的定义域．再根据条件及正弦函数的有界性求得值域．
（2）由于函数的定义域不关于原点不对称，可得f（x）是非奇非偶函数．
（3）根据f（x+2π）=f（x），可得函数的周期性．

解答：解：（1）由sinx-cosx＞0可得，

2

sin（x-

π

4

）＞0，
∴2kπ+0＜x-

π

4

＜2kπ+π，k∈z，即2kπ+

π

4

＜x＜2kπ+

5π

4

，k∈z．
∴定义域为 （2kπ+

π

4

，2kπ+

5π

4

），（k∈Z）．
∵

2

sin （x-

π

4

）∈（0，

2

]，∴值域为 （0，

2

]．
（2）∵定义域不关于原点不对称，∴f（x）是非奇非偶函数．
（3）∵f（x+2π）=log

1

2

[sin（x+2π）-cos（x+2π）]=log

1

2

（sinx-cosx）=f（x），
∴已知函数是周期函数，且最小正周期T=2π．

点评：本题主要考查复合三角函数的单调性、奇偶性和周期性，以及定义域和值域，属于中档题．