Question

18．已知曲线C：$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{8k}{{1+{k^2}}}\\ y=\frac{{2（1-{k^2}）}}{{1+{k^2}}}\end{array}\right.$（k为参数）和直线l：$\left\{\begin{array}{l}x=2+tcosθ\\ y=1+tsinθ\end{array}\right.$（t为参数）．
（1）将曲线C的方程化为普通方程；
（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，且P（2，1）为弦AB的中点，求弦AB所在的直线方程．

Answer 1

分析 （1）由$y=\frac{{2（1-{k^2}）}}{{1+{k^2}}}$，得$\frac{y}{2}=-1+\frac{2}{{1+{k^2}}}$，即$\frac{y}{2}+1=\frac{2}{{1+{k^2}}}$，又$x=\frac{8k}{{1+{k^2}}}$，两式相除得$k=\frac{x}{2y+4}$，代入$x=\frac{8k}{{1+{k^2}}}$整理得C的普通方程．
（2）将$\left\{\begin{array}{l}x=2+tcosθ\\ y=1+tsinθ\end{array}\right.$代入$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$，整理得（4sin²θ+cos²θ）t²+（4cosθ+8sinθ）t-8=0．由P为AB的中点，可得$\frac{4cosθ+8sinθ}{{4{{sin}^2}θ+cs{o^2}θ}}=0$．化简可得直线AB的斜率，即可得出AB直线方程．

解答 解：（1）由$y=\frac{{2（1-{k^2}）}}{{1+{k^2}}}$，得$\frac{y}{2}=-1+\frac{2}{{1+{k^2}}}$，即$\frac{y}{2}+1=\frac{2}{{1+{k^2}}}$，又$x=\frac{8k}{{1+{k^2}}}$，两式相除得$k=\frac{x}{2y+4}$，
代入$x=\frac{8k}{{1+{k^2}}}$，得$\frac{{8×\frac{x}{2y+4}}}{{1+{{（\frac{x}{2y+4}）}^2}}}=x$，整理得$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$，即为C的普通方程．
（2）将$\left\{\begin{array}{l}x=2+tcosθ\\ y=1+tsinθ\end{array}\right.$代入$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$，
整理得（4sin²θ+cos²θ）t²+（4cosθ+8sinθ）t-8=0．
由P为AB的中点，则$\frac{4cosθ+8sinθ}{{4{{sin}^2}θ+cs{o^2}θ}}=0$．
∴cosθ+2sinθ=0，即$tanθ=-\frac{1}{2}$，故${l_{AB}}：y-1=-\frac{1}{2}（x-2）$，即$y=-\frac{1}{2}x+2$，
所以所求的直线方程为x+2y-4=0．

点评 本题考查了参数方程h化为普通方程及其应用、同角三角函数基本关系式、直线方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．