Question

7．设函数f（x）=|x-2|-|2x+1|．
（Ⅰ）求不等式f（x）＞0的解集；
（Ⅱ）若存在x₀∈R，使得f（x₀）＞2m+1，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意，|x-2|＞|2x+1|．两边平方，不等式可化为3x²+8x-3＜0，即可求不等式f（x）＞0的解集；
（Ⅱ）若?x₀∈R，使得f（x₀）＞2m+1，等价于f（x）_max＞2m+1，即可求实数m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由题意，|x-2|＞|2x+1|．
两边平方，不等式可化为3x²+8x-3＜0，解得-3$＜x＜\frac{1}{3}$，
∴不等式的解集为（-3，$\frac{1}{3}$）；
（Ⅱ）?x₀∈R，使得f（x₀）＞2m+1，等价于f（x）_max＞2m+1，
∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+3，x＜-\frac{1}{2}}\\{-3x+1，-\frac{1}{2}≤x≤2}\\{-x-3，x＞2}\end{array}\right.$，∴f（x）_max=f（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{5}{2}$
∴$\frac{5}{2}$＞2m+1，
∴m＜$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查绝对值不等式，考查存在性问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．