Question

16．如图，已知菱形ABCD与直角梯形ABEF所在的平面互相垂直，其中BE∥AF，AB⊥AF，AB=BE=$\frac{1}{2}$AF=2，∠CBA=$\frac{π}{3}$．
（Ⅰ）求证：AF⊥BC；
（Ⅱ）线段AB上是否存在一点G，使得直线FG与平面DEF所成的角的正弦值为$\frac{\sqrt{93}}{31}$，若存在，求AG的长；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用面面垂直的性质，证明AF⊥平面ABCD，即可证明：AF⊥BC；
（Ⅱ）建立如图所示的坐标系，求出平面DEF的法向量，利用直线FG与平面DEF所成的角的正弦值为$\frac{\sqrt{93}}{31}$，可得结论．

解答 （Ⅰ）证明：∵菱形ABCD与直角梯形ABEF所在的平面互相垂直，AB⊥AF，
∴AF⊥平面ABCD，
∵BC?平面ABCD，AF⊥BC；
（Ⅱ）解：取AB的中点O，连接CO，则CO⊥AB，
∵菱形ABCD与直角梯形ABEF所在的平面互相垂直，
∴CO⊥平面ABEF，
作OM∥AF，建立如图所示的坐标系，则D（-2，0，$\sqrt{3}$），F（-1，4，0），E（1，2，0），
∴$\overrightarrow{DF}$=（1，4，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{EF}$=（-2，2，0），
设平面DEF的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{x+4y-\sqrt{3}z=0}\\{-2x+2y=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{m}$=（1，1，$\frac{5}{\sqrt{3}}$），
设G（λ，0，0），λ∈[-1，1]，则$\overrightarrow{GF}$=（-λ-1，4，0）
∵直线FG与平面DEF所成的角的正弦值为$\frac{\sqrt{93}}{31}$，
∴$\frac{|-λ-1+4|}{\sqrt{（λ+1）^{2}+16}×\sqrt{\frac{31}{3}}}$=$\frac{\sqrt{93}}{31}$，
∴λ=-1∈[-1，1]，
∴AG=0，直线FG与平面DEF所成的角的正弦值为$\frac{\sqrt{93}}{31}$．

点评 本题考查了空间中垂直关系的判断与应用问题，也考查了用向量法求线面角，考查了空间想象能力与逻辑思维能力，是综合性问题．