Question

4．如图所示，正三角形ABC所在平面与梯形BCDE所在平面垂直，BE∥CD，BE=2CD=4，BE⊥BC，F为棱AB的中点．
（1）求证：CF⊥平面ABE；
（2）若直线DA与平面ABC所成的角为30°，求三棱锥D-BEF的体积．

Answer 1

分析 （1）推导出BE⊥平面ABC，从而BE⊥CF，再求出CF⊥AB，由此能证明CF⊥平面ABE．
（2）取BC中点G，连接AG，由V_D-BEF=V_F-BDE，能求出三棱锥D-BEF的体积．

解答 证明：（1）∵平面ABC⊥平面BCDE，
平面ABC∩平面BCDE=BC，
且BE?平面BCDE，BE⊥BC，
∴BE⊥平面ABC，
∴BE⊥CF，
又∵△ABC为正三角形，F为AB的中点，
∴CF⊥AB，
又∵BE、AB?平面ABE，BE∩AB=B，
∴CF⊥平面ABE；
解：（2）取BC中点G，连接AG，
由题意知CD⊥平面ABC，
∴DA与平面ABC所成的角为∠DAC=30°，
∵Rt△ACD中，CD=2，∴$AD=4，AC=2\sqrt{3}$，
∵△ABC为正三角形，G为BC的中点，
∴AG⊥BC且$AG=3，BC=2BG=2\sqrt{3}$，
∵平面ABC⊥平面BCDE，∴AG⊥平面BCDE，
又∵F为AB的中点，∴点F到平面BCDE的距离为$\frac{1}{2}AG=\frac{3}{2}$，
∵$BE⊥BC，BE=4，BC=2\sqrt{3}$，
∴${S_{△BDE}}=\frac{1}{2}•BE•BC=4\sqrt{3}$，
∴${V_{D-BEF}}={V_{F-BDE}}=\frac{1}{3}•{S_{△BDE}}•\frac{1}{2}AG=\frac{1}{3}•4\sqrt{3}•\frac{3}{2}=2\sqrt{3}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查推理论证能力、空间思维能力、运算求解能力，考查等价转化思想、数形结合思想，是中档题．