Question

15．已知函数f（x）=|2x-1|
（Ⅰ）若不等式f（x+$\frac{1}{2}$）≤2m+1（m＞0）的解集为[-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$]，求实数m的值；
（Ⅱ）若不等式f（x）≤|y|+|a-y|+|2x|，对任意的实数x，y∈R都成立，求正实数a的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若不等式f（x+$\frac{1}{2}$）≤2m+1（m＞0）的解集为[-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$]，不等式|2x|≤2m+1（m＞0）的解集为[-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$]，解不等式，即可求实数m的值；
（Ⅱ）若不等式f（x）≤|y|+|a-y|+|2x|，对任意的实数x，y∈R都成立，则|2x-1|-|2x|≤|y|+|a-y|，利用（|2x-1|-|2x|）_max=1，（|y|+|a-y|）_min=a，即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）若不等式f（x+$\frac{1}{2}$）≤2m+1（m＞0）的解集为[-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$]，
∴不等式|2x|≤2m+1（m＞0）的解集为[-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$]，
由|2x|≤2m+1，可得-m-$\frac{1}{2}$≤x≤m+$\frac{1}{2}$，
∴m+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，∴m=1；
（Ⅱ）若不等式f（x）≤|y|+|a-y|+|2x|，对任意的实数x，y∈R都成立，则|2x-1|-|2x|≤|y|+|a-y|，
∵（|2x-1|-|2x|）_max=1，（|y|+|a-y|）_min=a，∴a≥1，
∴正实数a的最小值为1．

点评 本题考查不等式的解法，考查绝对值不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．