Question

20．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{1}{2}$，右焦点为F₂，点M在圆x²+y²=b²上，且M在第一象限，过M作圆x²+y²=b²的切线交椭圆于P，Q两点．若△PF₂Q的周长为4，则椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．

Answer 1

分析 设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），分别求出|F₂P|，|F₂Q|，结合相切的条件可得|PM|²=|OP|²-|OM|²求出|PQ|，利用△PF₂Q的周长为4，可得结论．

解答 解：椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{1}{2}$，则a=2c，b=$\sqrt{3}$c，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∴|PF₂|²=（x₁-c）²+y₁²=$\frac{1}{4}$（x₁-4c）²，
∴|PF₂|=2c-$\frac{1}{2}$x₁，
连接OM，OP，由相切条件知：
|PM|²=|OP|²-|OM|²=x₁²+y₁²-3c²=$\frac{1}{4}$x₁²，
∴|PM|=$\frac{1}{2}$x₁，
∴|PF₂|+|PM|=2c，
同理可求|QF₂|+|QM|=2c，
∴|F₂P|+|F₂Q|+|PQ|=4c．
∵△PF₂Q的周长为4，∴c=1，
∴$a=2，b=\sqrt{3}$，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
故答案为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．

点评 本题考查的知识点是椭圆的标准方程和性质，直线与圆的位置关系，直线与椭圆的位置关系，熟练掌握椭圆的性质是解答本题的关键．