Question

5．若正实数m，n满足$\frac{2}{m}+\frac{1}{n}=\int_{-2}^2{（{x+\frac{1}{π}\sqrt{4-{x^2}}}）}dx$，则log₂（m+2n）的最小值为2．

Answer 1

分析 利用微积分基本定理、基本不等式的性质即可得出．

解答 解：${∫}_{-2}^{2}$（x+$\frac{1}{π}\sqrt{4-{x}^{2}}$）dx=${∫}_{-2}^{2}$xdx+${∫}_{-2}^{2}$$\frac{1}{π}\sqrt{4-{x}^{2}}$dx=$\frac{1}{2}{x}^{2}{|}_{-2}^{2}$+$\frac{1}{π}$×$\frac{1}{2}×π×{2}^{2}$=2．
∴$\frac{2}{m}+\frac{1}{n}$=2（n，m＞0）．
∴2≥$2\sqrt{\frac{2}{m}•\frac{1}{n}}$，化为：mn≥2．当且仅当m=2n=2时取等号．
∴log₂（m+2n）≥$lo{g}_{2}2\sqrt{2mn}$=2．
故答案为：2．

点评 本题考查了微积分基本定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．