Question

17．已知Rt△ABC中，$∠A=\frac{π}{2}$，以B，C为焦点的双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）经过点A，且与AB边交于点D，若|AD|=2|BD|，则该双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{10}}}{2}$
• B． $\sqrt{10}$
• C． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 设|BD|=t，则|AD|=2t，|AB|=3t，运用双曲线的定义，可得|AC|，|DC|，再分别在直角三角形ACD和直角三角形ACB中，运用勾股定理，结合双曲线的离心率公式，计算即可得到所求值．

解答 解：如图，设|BD|=t，则|AD|=2t，|AB|=3t，
由双曲线的定义可得|AC|=|AB|-2a=3t-2a，
由双曲线的定义可得|DC|=|DB|+2a=2a+t，
在直角三角形ACD中，
|AC|²+|AD|²=|CD|²，
即为（3t-2a）²+4t²=（2a+t）²，
化简可得3t=4a，
在直角三角形ACB中，
|AC|²+|AB|²=|CB|²，
即为（3t-2a）²+9t²=（2c）²，
即有4a²+16a²=4c²，即为c²=5a²，
则e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用定义法和方程思想，以及直角三角形的勾股定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．