Question

8．设f（x）是定义在R上连续的偶函数，且当x∈（0，+∞）时，f（x）是单调函数，则满足条件f（x）=f（1-$\frac{1}{x+3}$）的所有x之积为-4．

Answer 1

分析 根据题意，结合函数的奇偶性与单调性分析可得：若f（x）=f（1-$\frac{1}{x+3}$）=f（$\frac{x+2}{x+3}$），则|x|=|$\frac{x+2}{x+3}$|，结合一元二次方程根与系数的关系可得每个方程的两根之积，将其相乘即可得答案．

解答 解：根据题意，函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在（0，+∞）是单调函数，
则f（x）在（-∞，0）上也单调，
若f（x）=f（1-$\frac{1}{x+3}$）=f（$\frac{x+2}{x+3}$）
则必有|x|=|$\frac{x+2}{x+3}$|，即±x=$\frac{x+2}{x+3}$，
若x=$\frac{x+2}{x+3}$，即x²+2x-2=0，则x₁•x₂=-2，
若-x=$\frac{x+2}{x+3}$，即x²+4x+2=0，则x₃•x₄=2，
∴故方程|x|=|$\frac{x+2}{x+3}$|有4个解，且4个解之积x₁•x₂•x₃•x₄=-4，
故选：-4．

点评 本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，注意函数在（0，+∞）上单调的含义，属于中档题