Question

18．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，记b_n=$\frac{{S}_{n+1}}{n}$．
（1）若{a_n}是首项为a、公差为d的等差数列，其中a，d均为正数．
①当3b₁，2b₂，b₃成等差数列时，求$\frac{a}{d}$的值；
②求证：存在唯一的正整数n，使得a_n+1≤b_n＜a_n+2．
（2）设数列{a_n}是公比为q（q＞2）的等比数列，若存在r，t（r，t∈N^*，r＜t）使得$\frac{{b}_{t}}{{b}_{r}}$=$\frac{t+2}{r+2}$，求q的值．

Answer 1

分析 （1）①根据等差数列和等差数列的前n项和公式，以及等差数列的性质，即可求出，
②若a_n+1≤b_n＜a_n+2，得到$\left\{\begin{array}{l}{{n}^{2}-n-\frac{2a}{d}≤0}\\{{n}^{2}+n-\frac{2a}{d}＞0}\end{array}\right.$，解得即可，
（2）由已知条件可得$\frac{{q}^{t+1}-1}{t（t+2）}$=$\frac{{q}^{r+1}-1}{r（r+2）}$，构造f（n）=$\frac{{q}^{n+1}-1}{n（n+2）}$，n≥2，n∈N*，利用定义证明其单调性，再分别赋值验证即可．

解答 解：（1）①∵3b₁，2b₂，b₃成等差数列，
∴4b₂=3b₁+b₃，
即4×$\frac{3a+3d}{2}$=2（2a+d）+$\frac{4a+6d}{3}$，
∴d=$\frac{4}{3}$a，
∴$\frac{a}{d}$=$\frac{3}{4}$，
②由a_n+1≤b_n＜a_n+2，
得a+nd=$\frac{1}{n}$[（n+1）a+$\frac{1}{2}$n（n+1）d]＜a+（n+1）d，
整理得$\left\{\begin{array}{l}{{n}^{2}-n-\frac{2a}{d}≤0}\\{{n}^{2}+n-\frac{2a}{d}＞0}\end{array}\right.$，
解得$\frac{-1+\sqrt{1+\frac{8a}{d}}}{2}$＜n≤$\frac{1+\sqrt{1+\frac{8a}{d}}}{2}$，
由于$\frac{1+\sqrt{1+\frac{8a}{d}}}{2}$-$\frac{-1+\sqrt{1+\frac{8a}{d}}}{2}$=1且得$\frac{-1+\sqrt{1+\frac{8a}{d}}}{2}$＞0，
因此存在唯一的正整数n，使得a_n+1≤b_n＜a_n+2．
（2）∵$\frac{{b}_{t}}{{b}_{r}}$=$\frac{\frac{{a}_{1}（1-{q}^{t+1}）}{t（1-q）}}{\frac{{a}_{1}（1-{q}^{r+1}）}{r（1-q）}}$=$\frac{t+2}{r+2}$，
∴$\frac{{q}^{t+1}-1}{t（t+2）}$=$\frac{{q}^{r+1}-1}{r（r+2）}$，
设f（n）=$\frac{{q}^{n+1}-1}{n（n+2）}$，n≥2，n∈N*，
则f（n+1）-f（n）=$\frac{{q}^{n+2}-1}{（n+1）（n+2）}$-$\frac{{q}^{n+1}-1}{n（n+2）}$=$\frac{{q}^{n+1}[（q-1）{n}^{2}+2（q-2）n-3]+2n+3}{（n+1）（n+3）n（n+2）}$，
∵q＞2，n≥2，
∴（q-1）n²+2（q-2）n-3＞n²-3≥1＞0，
∴f（n+1）-f（n）＞0，
即f（n+1）＞f（n），
∴f（n）为单调递增，
∴当r≥2时，t＞r≥2，
则f（t）＞f（r），即$\frac{{q}^{t+1}-1}{t（t+2）}$＞$\frac{{q}^{r+1}-1}{r（r+2）}$，这与$\frac{{q}^{t+1}-1}{t（t+2）}$=$\frac{{q}^{r+1}-1}{r（r+2）}$互相矛盾，
∴r=1时，即$\frac{{q}^{t+1}-1}{t（t+2）}$=$\frac{{q}^{2}-1}{3}$，
若t≥3，则f（t）≥f（3）=$\frac{{q}^{4}-1}{15}$=$\frac{{q}^{2}-1}{3}$•$\frac{{q}^{2}+1}{5}$＞$\frac{{q}^{2}-1}{3}$，即$\frac{{q}^{t+1}-1}{t（t+2）}$＞$\frac{{q}^{2}-1}{3}$，这与$\frac{{q}^{t+1}-1}{t（t+2）}$=$\frac{{q}^{2}-1}{3}$互相矛盾，
于是t=2，
∴$\frac{{q}^{3}-1}{8}$=$\frac{{q}^{2}-1}{3}$，
即3q²-5q-5=0，
∵q＞2，
∴q=$\frac{5+\sqrt{85}}{6}$

点评 此题主要考查等差的性质的应用，题目较为复杂，需要一步一步的分析求解，计算量要求较高，属于难题．