Question

4．已知数列{a_n}满足a₁=2，且${a_n}=\frac{{2n{a_{n-1}}}}{{{a_{n-1}}+n-1}}（n≥2，n∈{N^*}）$，则a_n=$\frac{n•{2}^{n}}{{2}^{n}-1}$．

Answer 1

分析 由${a_n}=\frac{{2n{a_{n-1}}}}{{{a_{n-1}}+n-1}}（n≥2，n∈{N^*}）$，可得：$\frac{n}{{a}_{n}}$=$\frac{n-1}{2{a}_{n-1}}$+$\frac{1}{2}$，于是$\frac{n}{{a}_{n}}$-1=$\frac{1}{2}（\frac{n-1}{{a}_{n-1}}-1）$，利用等比数列的通项公式即可得出．

解答 解：由${a_n}=\frac{{2n{a_{n-1}}}}{{{a_{n-1}}+n-1}}（n≥2，n∈{N^*}）$，可得：$\frac{n}{{a}_{n}}$=$\frac{n-1}{2{a}_{n-1}}$+$\frac{1}{2}$，
于是$\frac{n}{{a}_{n}}$-1=$\frac{1}{2}（\frac{n-1}{{a}_{n-1}}-1）$，
又$\frac{1}{{a}_{1}}$-1=-$\frac{1}{2}$，∴数列{$\frac{n}{{a}_{n}}$-1}是以-$\frac{1}{2}$为首项，$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，
故$\frac{n}{{a}_{n}}$-1=-$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴a_n=$\frac{n•{2}^{n}}{{2}^{n}-1}$（n∈N^*）．
故答案为：$\frac{n•{2}^{n}}{{2}^{n}-1}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．