Question

11．数列{a_n}是公差为d（d≠0）的等差数列，S_n为其前n项和，a₁，a₂，a₅成等比数列，
（Ⅰ）证明S₁，S₃，S₉成等比数列；
（Ⅱ）设a₁=1，b_n=a${\;}_{{2}^{n}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用等差数列的通项公式和等比数列中项的性质，解方程可得d=2a₁，再由等差数列的求和公式，结合等比数列中项性质，即可得证；
（Ⅱ）求出b_n=a${\;}_{{2}^{n}}$，=a₁+（2ⁿ-1）d=1+2（2ⁿ-1）=2ⁿ⁺¹-1，再由分组求和，结合等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．

解答 （Ⅰ）证明：数列{a_n}是公差为d（d≠0）的等差数列，
S_n为其前n项和，a₁，a₂，a₅成等比数列，
可得a₂²=a₁a₅，
即为（a₁+d）²=a₁（a₁+4d），
化简可得d=2a₁，
S₁S₉=a₁（9a₁+36d）=81a₁²，S₃=3a₁+3d=9a₁，
可得S₁S₉=S₃²，
即为S₁，S₃，S₉成等比数列；
（Ⅱ）解：设a₁=1，b_n=a${\;}_{{2}^{n}}$，=a₁+（2ⁿ-1）d=1+2（2ⁿ-1）=2ⁿ⁺¹-1，
数列{b_n}的前n项和T_n=（4+8+…+2ⁿ⁺¹）-n
=$\frac{4（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n=2ⁿ⁺²-4-n．

点评 本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，等比数列中项的性质，考查数列的求和方法：分组求和，注意运用等比数列的求和公式，考查运算能力，属于中档题．