Question

2．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足$2bcos（{C-\frac{π}{3}}）=a+c$．
（1）求角B的大小；
（2）若b=$\sqrt{3}$，求ac的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据题意，对于$2bcos（{C-\frac{π}{3}}）=a+c$，由正弦定理可得$2sinBcos（{C-\frac{π}{3}}）=sinA+sinC$，变形可得$\sqrt{3}sinB-cosB=1$，由正弦的和差公式可得$sin（{B-\frac{π}{6}}）=\frac{1}{2}$，结合B的范围分析可得答案；
（2）由（1）可得b和B的值，由正弦定理分析可得$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}=\frac{b}{sinB}=2$，进而分析可得$a•c=4sinAsin（{\frac{2π}{3}-A}）=4sinA（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosA+\frac{1}{2}sinA}）$，对其变形化简可得ac=2sin（2A-$\frac{π}{6}$）+1，结合A的范围，分析可得答案．

解答 解：（1）根据题意，∵$2bcos（{C-\frac{π}{3}}）=a+c$，
∴由正弦定理得：$2sinBcos（{C-\frac{π}{3}}）=sinA+sinC$，
∴$2sinB（{\frac{1}{2}cosC+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinC}）=sin（{B+C}）+sinC$，
即：$\sqrt{3}sinB-cosB=1$，
∴$sin（{B-\frac{π}{6}}）=\frac{1}{2}$，
∵△ABC为锐角三角形，∴$B-\frac{π}{6}∈（{-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}）$，∴$B-\frac{π}{6}=\frac{π}{6}$即$B=\frac{π}{3}$；
（2）∵$b=\sqrt{3}，B=\frac{π}{3}$，∴由正弦定理有：$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}=\frac{b}{sinB}=2$，
∴由正弦定理有：$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}=\frac{b}{sinB}=2$，
∴a=2sinA，c=2sinC，a•c=4sinAsinC，
∵$B=\frac{π}{3}$，∴$C=\frac{2π}{3}-A$，
∴$a•c=4sinAsin（{\frac{2π}{3}-A}）=4sinA（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosA+\frac{1}{2}sinA}）$
$\begin{array}{l}=2\sqrt{3}sinAcosA+2{sin^2}A\\=\sqrt{3}sin2A+1-cos2A\\=2sin（{2A-\frac{π}{6}}）+1\end{array}$
∵△ABC为锐角三角形，∴$A∈（{0，\frac{π}{2}}），C=\frac{2π}{3}-A∈（{0，\frac{π}{2}}）$，
∴$A∈（{\frac{π}{6}，\frac{π}{2}}）$，∴$2A-\frac{π}{6}∈（{\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}}）$，
∴a•c∈（2，3]．

点评 本题考查正余弦定理的应用，涉及三角函数的恒等变形，关键是熟悉三角函数的恒等变形的公式．