Question

9．设P为双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上且在第一象限内的点，F₁，F₂分别是双曲线的左、右焦点，PF₂⊥F₁F₂，x轴上有一点A且AP⊥PF₁，E是AP的中点，线段EF₁与PF₂交于点M．若|PM|=2|MF₂|，则双曲线的离心率是（　　）

• A． 1$+\sqrt{2}$
• B． 2$+\sqrt{2}$
• C． 3$+\sqrt{2}$
• D． 4$+\sqrt{2}$

Answer 1

分析 求出A的横坐标，利用E是AP的中点，线段EF₁与PF₂交于点M，|PM|=2|MF₂|，得出3c=$\frac{{b}^{4}+2{a}^{2}{c}^{2}}{2{a}^{2}c}$，即可得出结论．

解答 解：由题意，P（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），∴${k}_{{F}_{1}P}$=$\frac{{b}^{2}}{2ac}$，
∴直线PA的方程为y-$\frac{{b}^{2}}{a}$=-$\frac{2ac}{{b}^{2}}$（x-c），
令y=0，可得x=$\frac{{b}^{4}+2{a}^{2}{c}^{2}}{2{a}^{2}c}$，
∵E是AP的中点，线段EF₁与PF₂交于点M，|PM|=2|MF₂|，
∴3c=$\frac{{b}^{4}+2{a}^{2}{c}^{2}}{2{a}^{2}c}$，
∴e⁴-6e²+1=0，
∵e＞1，∴e=1+$\sqrt{2}$，
故选A．

点评 本题考查双曲线的方程与性质，考查中等坐标的运用，属于中档题．