Question

18．若等差数列{a_n}的前n项和S_n有最大值，且$\frac{{a}_{11}}{{a}_{10}}$＜-1，那么令S_n取最小正值的项数n=（　　）

• A． 15
• B． 17
• C． 19
• D． 21

Answer 1

分析 由题意知，S_n有最大值，所以d＜0，因为$\frac{{a}_{11}}{{a}_{10}}$＜-1，可得a₁₀＞0＞a₁₁，且a₁₀+a₁₁＜0，再利用求和公式与数列的单调性即可判断出结论．

解答 解：由题意知，S_n有最大值，所以d＜0，因为$\frac{{a}_{11}}{{a}_{10}}$＜-1，
所以a₁₀＞0＞a₁₁，且a₁₀+a₁₁＜0，
所以S₂₀=10（a₁+a₂₀）=10（a₁₀+a₁₁）＜0，则S₁₉=19a₁₀＞0，
又a₁＞a₂＞…＞a₁₀＞0＞a₁₁＞a₁₂，所以S₁₀＞S₉＞…＞S₂＞S₁＞0，S₁₀＞S₁₁＞…＞S₁₉＞0＞S₂₀＞S₂₁，
又S₁₉-S₁=a₂+a₃+…+a₁₉=9（a₁₀+a₁₁）＜0，所以S₁₉为最小正值，
故选：C．

点评 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．