Question

9．已知数列{a_n}满足：a₁=1，a_n=a_n-1²+2a_n-1（n≥2），若b_n=$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}+\frac{1}{{{a_n}+2}}$（n∈N^*），则数列{b_n}的前n项和S_n=1-$\frac{1}{{2}^{{2}^{n}}-1}$．

Answer 1

分析 由条件配方，取常用对数，运用等比数列可得a_n=2${\;}^{{2}^{n-1}}$-1，求出b_n=$\frac{1}{{2}^{{2}^{n-1}}-1}$-$\frac{1}{{2}^{{2}^{n}}-1}$，运用数列的求和方法：裂项相消求和，计算即可得到所求和．

解答 解：a₁=1，a_n=a_n-1²+2a_n-1（n≥2），
即有a_n+1=a_n-1²+2a_n-1+1=（a_n-1+1）²，
两边取常用对数，可得lg（a_n+1）=lg（a_n-1+1）²=2lg（a_n-1+1），
可得lg（a_n+1）=lg2•2^n-1，
可得a_n=2${\;}^{{2}^{n-1}}$-1，
则b_n=$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}+\frac{1}{{{a_n}+2}}$=$\frac{1}{{2}^{{2}^{n}}-1}$+$\frac{1}{{2}^{{2}^{n-1}}+1}$=$\frac{1}{（{2}^{{2}^{n-1}}-1）（{2}^{{2}^{n-1}}+1）}$+$\frac{1}{{2}^{{2}^{n-1}}+1}$
=$\frac{1}{{2}^{{2}^{n-1}}-1}$-$\frac{1}{{2}^{{2}^{n}}-1}$，
则S_n=b₁+…+b_n═1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{15}$+$\frac{1}{15}$-$\frac{1}{255}$+…+$\frac{1}{{2}^{{2}^{n-1}}-1}$-$\frac{1}{{2}^{{2}^{n}}-1}$
=1-$\frac{1}{{2}^{{2}^{n}}-1}$．
故答案为：1-$\frac{1}{{2}^{{2}^{n}}-1}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，注意运用取对数，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．